Mokslo istorija

Štai papildoma medžiaga apmąstymams iš Ado Meskenso straipsnio dėl mano minėto Grigaliaus iš Saint-Vincento ribos apibrėžimo: kaip teigiama, pirmą kartą matematikos istorijoje Grigalius iš Saint-Vincento tvirtina (XVII a. pirma pusė), kad egzistuoja begalinės eilutės riba (terminus) – “dydis bus išsemtas”.

“St Vincent’s first investigations had to do with reflection and refraction. One of the problems which arose was the trisection of an angle. In searching for ways to obtain a trisection, St Vincent came across the series 1/1 – 1/2 + 1/4 – 1/8 + … . This series according to St Vincent equals 2/3, which he called the terminus. In contrast with classical Greek mathematics, St Vincent thus accepts, for the first time in the history of mathematics, the existence of a limit. While Euclid writes that “one will obtain at last something smaller than the smallest quantity”, St Vincent goes further and boldly writes: “the quantity will be exhausted”. ”
(Meskens, Ad (1994) Gregory of Saint Vincent: A Pioneer of the Calculus, The Mathematical Gazette 78 (483), 315-319, p. 316)

Praeitame įraše minėjau, kad įdomus istorinis klausimas yra Antikos graikų matematikų mąstymo būdą, bet šiame kontekste taip pat reiktų nepamiršti ir Viduramžių scholastų, kurie kalbėjo apie begalinį sumavimą.

Susiję užrašai:
Grigaliaus iš Saint-Vincento eilutes ribos apibūdinimas

Konceptualinės pažangos idėją gražiai galima iliustruoti Galileo Galilėjaus citata iš jo 1638 m. „Dialogų apie du naujus mokslus“, kur keliamas tikslas surasti vaisingas konceptualines priemones - apibrėžimus, „geriausiai tinkančius gamtos reiškiniams“. Savo tikslą Galilėjaus apibūdina pabrėždamas savo skirtumą nuo tų, kurie tiesiog matematiškai tiria galimo judėjimo savybes nesirūpindami, kaip tai realizuojama gamtoje (ir šitas darbas „pagirtinas“, bet kitoks):

„Ir pirmiausia atrodo reikalinga rasti ir paaiškinti apibrėžimą, geriausiai tinkantį gamtos reiškiniams. Nes bet kas gali išrasti kokią nors judėjimo rūšį ir aptarti jos savybes; tuo būdu, pavyzdžiui, buvo įsivaizduotos spiralės ir konchoidės, brėžiamos tam tikrų judėjimų, kurie nesutinkami gamtoje, ir labai pagirtina, kad buvo nustatytos savybės, kurias šios kreivės turi jų apibrėžimų dėka; bet mes nusprendėme aptarti su pagreičiu krintančių kūnų reiškinius taip, kaip jie iš tikrųjų vyksta gamtoje ir sudaryti tokį greitėjančio judėjimo apibrėžimą, kad jis parodytų esminius stebimų greitėjančių judėjimų bruožus.“
 
(Galilei, Galileo. Dialogues Concerning the Two New Sciences, in R. M. Hutchins (ed.), Great Books of the Western World, vol. 28: Gilbert, Galileo, Harvey. Encyclopedia Britannica, 1955 [1638], p. 200)

Beje, galime pastebėti, kad Galilėjus pabrėžia analitinį grynai matematinio tyrimo pobūdį - kreivės turi tam tikras savybes “savo apibrėžimų dėka”, t.y. savybės seka iš apibrėžimų.

Nuo seno man buvo įdomi diferencialinio ir integralinio skaičiavimo (t.y. infinitezimalinio skaičiavimo – tai, kas angliškai vadinama “calculus”) istorija. Ten krūvos keblių klausimų: kaip dirbo Antikos graikų matematikai?; kaip formavosi ribos sąvoka?; kas vyko XVII a. bumo metu? (milžiniškas kiekis kūrybinio darbo); kaip buvo mąstoma ir susidorojama su neaiškumais dėl infinitezimalinių dydžių konceptualinių pagrindų? (George Berkeley kritika ir pan.); kaip situaciją keitė XIX a. inovacijos? ir t.t. (tiesa, dar yra XX a. nestandartinė analizė). Tokioje painioje istorijoje be mokslo istorikų kruopštaus darbo neišsiversi. Aišku, apie tai apstu straipsnių ir knygų. Viena iš tokių – tai Carlo B. Boyerio “The History of the Calculus and its Conceptual Development” (1959). Iš šios knygos savo senuose užrašuose radau Grigaliaus iš Saint-Vincento ribos apibūdinimą (XVII a. pirma pusė), kuris, pasak Boyerio, “galbūt” pirmasis eksplicitinis apibrėžimas – būtent, kad begalinė eilutė kaip tokia apibrėžia dydį, kuris vadinamas eilutės riba:

“Progresijos riba (terminus) yra eilutės galas, kurio progresija nepasiekia, net besitęsianti į begalybę, bet prie kurios ji gali priartėti arčiau negu bet koks duotas intervalas”.
(cituojama pagal Boyer, Carl B. (1959 [1949]) The History of the Calculus and its Conceptual Development. Dover Publications, p. 137)

Lygindamas Boyeris pažymi, kad graikai neapibrėždavo kreivės kaip terminus ad quem (kaip ribos), prie kurios artėja įbrėžtinė arba apibrėžtinė figūra (p. 137). Štai įdomus istorinis klausimas: kokiu būdu ir kaip tiksliai Antikos graikai apie tai mąstė?

Susiję užrašai:
Ad Meskens apie Grigalių iš Saint-Vincento

Visada pasilinksminu prisimindamas šią matematiko Vladimiro Arnoldo pastabą apie tai, ką Bourbaki pasakė dėl anglų matematiko Isaac Barrow (XVII a.) knygos, prisidėjusios prie infinitezimalinio skaičiavimo plėtotės:

“Bourbaki su šiokia tokia panieka rašo, kad jo knygoje [Barrow paskaitose] šimtui teksto puslapių tenka apie 180 brėžinių. (Apie pačio Bourbaki knygas galima pasakyti, kad ten tūkstančiams puslapių netenka nei vieno brėžinio, ir ne visai aišku, kas blogiau.)”
(Arnold, Vladimir. Huygens and Barrow, Newton and Hooke. Birkhäuser Verlag, 1990, p. 40)

Į mokslo istoriją svarbu pažiūrėti ir konceptualinės pažangos aspektu, t.y. kaip naujos konceptualinės priemonės leisdavo pastebėti svarbius pasaulio aspektus ir tuo suteikdavo galimybę suformuluoti svarbius dėsningumus. Tai ryšku įvairių matematinių priemonių įvedimo atveju, pavyzdžiui, diferencialinis ir integralinis skaičiavimas (calculus) ir judėjimo analizė XVII a. Toks žvilgsnis naudingas ne tik istoriniu ar filosofiniu, bet ir euristiniu požiūriu – taip iš praeities mokslininkų galime pasimokyti konceptualinio išradingumo: kokiais būdais buvo įveikiamos kliūtys, kaip buvo traktuojami neaiškumai dėl naujovių loginių pagrindų ir t.t.

Konceptualinės pažangos idėjos nereikėtų nei pervertinti, nei nuvertinti. Taip, iš šiuolaikinės perspektyvos žiūrint tai gali atrodyti banalu: visi įpratę, kad įvedamos labai sudėtingos ir abstrakčios matematinės konceptualinės naujovės, kai atsiranda reikalas. Bet mokslo istorijos ir apibendrintos metodologijos požiūriu konceptualinės pažangos idėją verta turėti omenyje. Antai buvo metas, kai buvo visai neaišku, kokiu būdu analizuoti gamtą. Ir net tada, kai kuriant modernaus mokslo pagrindus aiškėjo matematikos svarba, reikėjo rasti konkrečias technikas, kaip tokią analizę efektyviai padaryti. XVII-XVIII a. yra ypatingai turtingas šiuo požiūriu periodas. O ir daug vėliau, kai vienos disciplinos klestėjo, kitose buvo metodologinių neaiškumų dėl konceptualinės raidos.