Matyt, neapsikentęs humanitarinių pižonų (=snobų) ir beviltiškų ginčų dėl mokslo reikšmingumo bei kitų labai svarbių dalykų vertės (ir tariamo mokslininkų nesugebėjimo įvertinti), vienas iš kvantinės elektrodinamikos kūrėjų Richard Feynman savo garsiosiose paskaitose tiesmukiškai pareiškė:

“Beje, iškart reikia aiškiai pasakyti, kad jei kas nors yra nemokslas, tai nėra būtinai blogai. Pavyzdžiui, meilė nėra mokslas. Tad jei apie ką nors sakoma, kad tai nėra mokslas, šitai nereiškia, kas kažkas su tuo yra negerai; tas tik reiškia, kad tai tiesiog nėra mokslas.”
(The Feynman Lectures on Physics, 3-1)

Nėra ką čia ir bepridurti, nebent pakartoti šią Feynmano mintį iš mano “Filosofijos užrašų”:

“Nors mano mama nieko nežinojo apie mokslą, ji taip pat mane stipriai įtakojo. Ji turėjo nuostabų humoro jausmą ir aš iš jos išmokau, kad aukščiausios supratimo formos, kokias tik galime pasiekti, yra juokas ir žmogiškoji užuojauta.”
(iš Feynman, Richard. What do you care what other people think?: Further adventures of a curious character. Bantam Books, 1989, p. 7-8)

Nuo seno man buvo įdomi diferencialinio ir integralinio skaičiavimo (t.y. infinitezimalinio skaičiavimo – tai, kas angliškai vadinama “calculus”) istorija. Ten krūvos keblių klausimų: kaip dirbo Antikos graikų matematikai?; kaip formavosi ribos sąvoka?; kas vyko XVII a. bumo metu? (milžiniškas kiekis kūrybinio darbo); kaip buvo mąstoma ir susidorojama su neaiškumais dėl infinitezimalinių dydžių konceptualinių pagrindų? (George Berkeley kritika ir pan.); kaip situaciją keitė XIX a. inovacijos? ir t.t. (tiesa, dar yra XX a. nestandartinė analizė). Tokioje painioje istorijoje be mokslo istorikų kruopštaus darbo neišsiversi. Aišku, apie tai apstu straipsnių ir knygų. Viena iš tokių – tai Carlo B. Boyerio “The History of the Calculus and its Conceptual Development” (1959). Iš šios knygos savo senuose užrašuose radau Grigaliaus iš Saint-Vincento ribos apibūdinimą (XVII a. pirma pusė), kuris, pasak Boyerio, “galbūt” pirmasis eksplicitinis apibrėžimas – būtent, kad begalinė eilutė kaip tokia apibrėžia dydį, kuris vadinamas eilutės riba:

“Progresijos riba (terminus) yra eilutės galas, kurio progresija nepasiekia, net besitęsianti į begalybę, bet prie kurios ji gali priartėti arčiau negu bet koks duotas intervalas”.
(cituojama pagal Boyer, Carl B. (1959 [1949]) The History of the Calculus and its Conceptual Development. Dover Publications, p. 137)

Lygindamas Boyeris pažymi, kad graikai neapibrėždavo kreivės kaip terminus ad quem (kaip ribos), prie kurios artėja įbrėžtinė arba apibrėžtinė figūra (p. 137). Štai įdomus istorinis klausimas: kokiu būdu ir kaip tiksliai Antikos graikai apie tai mąstė?

Susiję užrašai:
Ad Meskens apie Grigalių iš Saint-Vincento

Visada pasilinksminu prisimindamas šią matematiko Vladimiro Arnoldo pastabą apie tai, ką Bourbaki pasakė dėl anglų matematiko Isaac Barrow (XVII a.) knygos, prisidėjusios prie infinitezimalinio skaičiavimo plėtotės:

“Bourbaki su šiokia tokia panieka rašo, kad jo knygoje [Barrow paskaitose] šimtui teksto puslapių tenka apie 180 brėžinių. (Apie pačio Bourbaki knygas galima pasakyti, kad ten tūkstančiams puslapių netenka nei vieno brėžinio, ir ne visai aišku, kas blogiau.)”
(Arnold, Vladimir. Huygens and Barrow, Newton and Hooke. Birkhäuser Verlag, 1990, p. 40)

Pradėjus galvoti apie konceptualinę pažangą moksle (t.y. kai konceptualinės naujovės efektyviai padeda siekiant pažintinių tikslų, tarkime, ieškant dėsningumų), mano mintis buvo užkliuvus už analogijos su programavimo kalbų efektyvumu, kaip apie tai užsimena C++ kalbos kūrėjas Bjarne Stroustrup savo “filosofinėje pastaboje” (kaip jis pats tai vadina):

“Programavimo kalba tarnauja dviem susijusiems tikslams: programuotojui ji suteikia instrumentą, kuriuo aprašomi įvykdytini veiksmai, ir sąvokų aibę, kuri naudojama, kai apgalvojama, kas gali būti padaryta. Idealo požiūriu pirmas tikslas reikalauja “artimos mašinai” kalbos tam, kad visais svarbiais mašinos aspektais būtų paprastai ir efektyviai tvarkomasi programuotojui pakankamai akivaizdžiu būdu. C kalba ir buvo sukurta pirmiausia tai turint omenyje. Antrasis tikslas idealo požiūriu reikalauja kalbos, “artimos spręstinai problemai”, tam, kad sprendimo sąvokos galėtų būti išreikštos tiesiogiai ir trumpai. Visų pirma tai turint omenyje buvo konstruojamos priemonės, kuriomis buvo papildyta C sukuriant C++… Kalba programuotojui suteikia konceptualinių įrankių rinkinį; jei šie yra neadekvatūs iškeltam tikslui, jie paprasčiausiai bus ignoruojami.”
(Stroustrup, Bjarne. The C++ programming language. Addison-Wesley Longman, Inc., 1997, p. 9)

Tai nėra ypatingos reikšmės analogija ir jokių minties perversmų nesukėlė, bet ji man pasirodė įdomi (plačiau žiūrint, šiame kontekste galima galvoti ir apie įvairias (nekonceptualines) inžinierines inovacijas istorijoje, reikalingas siekiant atitinkamų tikslų, nors nedidelė nauda iš labai plačios įrankis-tikslas analogijos).

Į mokslo istoriją svarbu pažiūrėti ir konceptualinės pažangos aspektu, t.y. kaip naujos konceptualinės priemonės leisdavo pastebėti svarbius pasaulio aspektus ir tuo suteikdavo galimybę suformuluoti svarbius dėsningumus. Tai ryšku įvairių matematinių priemonių įvedimo atveju, pavyzdžiui, diferencialinis ir integralinis skaičiavimas (calculus) ir judėjimo analizė XVII a. Toks žvilgsnis naudingas ne tik istoriniu ar filosofiniu, bet ir euristiniu požiūriu – taip iš praeities mokslininkų galime pasimokyti konceptualinio išradingumo: kokiais būdais buvo įveikiamos kliūtys, kaip buvo traktuojami neaiškumai dėl naujovių loginių pagrindų ir t.t.

Konceptualinės pažangos idėjos nereikėtų nei pervertinti, nei nuvertinti. Taip, iš šiuolaikinės perspektyvos žiūrint tai gali atrodyti banalu: visi įpratę, kad įvedamos labai sudėtingos ir abstrakčios matematinės konceptualinės naujovės, kai atsiranda reikalas. Bet mokslo istorijos ir apibendrintos metodologijos požiūriu konceptualinės pažangos idėją verta turėti omenyje. Antai buvo metas, kai buvo visai neaišku, kokiu būdu analizuoti gamtą. Ir net tada, kai kuriant modernaus mokslo pagrindus aiškėjo matematikos svarba, reikėjo rasti konkrečias technikas, kaip tokią analizę efektyviai padaryti. XVII-XVIII a. yra ypatingai turtingas šiuo požiūriu periodas. O ir daug vėliau, kai vienos disciplinos klestėjo, kitose buvo metodologinių neaiškumų dėl konceptualinės raidos.